【中学数学】 三平方の定理

1.三平方の定理とは

図1のように直角三角形の斜辺をc残りの2辺をa,b とするとき、 $ a^2+b^2=c^2 $ の関係式が成り立つ。これを 三平方の定理(別名:ピタゴラスの定理)と言います。

図1 三平方の定理

2.三平方の定理の証明

三平方の定理の証明方法は複数ありますが、今回は相似を使った証明方法を紹介します。

図2 三平方の定理の証明図

図2のように直角三角形ABCにおいて点Cから辺ABに垂線を引き、その垂線と辺ABの交点をHとおく。△ABCと△ACHにおいて

$∠ACB=∠AHC=90°$…(1)
共通の角より、
$∠CAB=∠HAC$ …(2)
(1)(2)より 2組の角がそれぞれ等しい ため
△ABC ∽△ACH …(3)

同様にして △ABCと △CBH において

$ ∠ACB=∠CHB=90°$…(4)
共通の角より、
$∠CBA=∠HBC$ …(5)
(4)(5)より 2組の角がそれぞれ等しい ため
△ABC∽△CBH …(6)

△ABC ∽ △ACH …(3) より
$AB:AC=AC:AH$
$AC^2=AB×AH$
$b^2=c×AH$ …(7)

△ABC ∽△ CBH …(6) より
$ BA:BC=BC:BH$
$BC^2=AB×BH$
$a^2=c×BH$ …(8)

(7)(8)より

$a^2 + b^2 = c×AH+c×BH $
$ a^2 + b^2 =c(AH+BH)$
$ a^2 + b^2 =c×AB$
$ a^2 + b^2 =c^2$

より$a^2 + b^2 =c^2$ が成り立つことが証明された。

3.練習問題

次に簡単な練習問題を2問出します。

図3練習問題(a)
図4 練習問題(b)

$ a^2 + 3^2 =5^2$
$ a^2 = 5^2 – 3^2 $
$ a^2 = 25 – 9 $
$ a^2 = 16 $
$ a = \pm 4 $
aは辺の長さよりa>0であるから
$ a = 4 $

$ 1^2 + 1^2 =c^2$
$ c^2 =1+1$
$ c^2 =2$
$ c = \pm \sqrt{2} $
cは辺の長さよりc>0であるから
$ c = \sqrt{2} $

4.おまけ(有名角)

30°、45°、60°は有名角と呼ばれていますが、これらの角度を持つ直角三角形はそれぞれの辺の比は非常に有名なので覚えましょう。

図5三角形の辺の比①
図6三角形の辺の比②

もし辺の比を忘れてしまったとしても三平方の定理を使えば簡単に比を出せます。

図6は直角二等辺三角形なので1:1というのがすぐわかり、三平方の定理から斜辺が $\sqrt{2} $ であることも簡単に分かります。
図5は直角のところからパタリと折りたたんだ形が正三角形になる(図7)ことからすぐに分かります。

図7 図5をパタリと折りたたんだ図

図7は正三角形なので、AD=ABになります。
よってAC:AD=AC:AB=1:2
となるのであとは三平方の定理から $BC=\sqrt{3} $を導けば簡単に三角形の比が分かります。

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